n!的质因数分解n!de ziyinshu fenjie

为了把n!分解成质因数的连乘积，需要下面几个结果：
❶ 设a,b是两个正整数，则不大于a且为b的倍数的正整数的个数为 [a/b].
证 当a
❷ 设，是素数，若p^a|n，但p^a+1|n，则称p^a恰好整除n，记作p^a|| n.若p是素数，n是正整数，p≤n，则在1,2，…，n中能被p^a恰好整除的正整数个数是
证 由❶知，1,2，…，n中能够被pa整除的正整数个数是，能够被p^(a+1)整除的正整数个数是，因为任一正整数若能被p^(a+1)整除，则它一定能被p ^a整除，于是能被p^a恰好整除的正整数个数是

❸ 设在n!的标准分解式中质因数p (p≤n)的方幂指数是h_p，则

注意，若p^a>n，则[n/p^a]=0.故上式中只有有限项。设项数为s，则s适合不等式^Ps≤n

(s+1)，于是
上述结果的证明：我们把正整数1,2，…，n分成若干类，不能被p整除的归入一类，记作N₀，能被p^a恰好整除的各归入一类，记作N_a (a≥1)。由
❷知，在1,2，…，n中能够被p^a恰好整除的数的个数是，因此属于N_a类的所有正整数的乘积恰好被p^t整除，这里t=于是

即hp=得证。
由这个结果可以推出，其中Ⅱ表示连乘积，p≤n表示p通过不超过n的一切质数。
例如，求50!的标准分解式中质因数3的方幂指数。
因为16+5+1=22，因此所求的指数是22。
又例如，求1000!的十进展开式中，末尾有多少个零？这只须看一看在1000!中含10的方幂指数是多少。但10不是素数，因此不能直接利用上述结果。考察2和5的方幂指数，由于r…1,2,3，…，故在1000!中5的方幂指数不超过2的方幂指数，1000!中末尾含数字零的个数，也就是含5的方幂指数。因为+40+8+1=249。这表明1000!的末尾含有249个零。