三角函数的化简与证明

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a．化简要求：

❶ 能求出值的应求出值．

❷ 使用三角函数种数尽量少．

❸ 使项数尽量少．

❹ 尽量使分母不含三角函数．

❺ 尽量使被开方数不含三角函数．

b．三角恒等式的证明，就是合理准确灵活地选用基本三角恒等式进行三角函数的等价变换，原则由繁到简．

例1 函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( )．

例2 证明

证明 等式两边都较复杂，可采用左右归一的途径．

左边=(cosα+sinα)(cos²α—cosαsinα+sin²α)+(cos²α+sin²α)·(cosα+sinα)(cosα—sinα)=(cosα+sinα)(1—cosαsinα+cosα—sinα)=(cosα+sinα)(1+cosα)(1—sinα)，

∴左边=右边，原式成立．

例3 设θ和φ均为锐角，且 ，求证：

分析 观察比较条件与结论，知切入点应在条件右端，通过变换使φ与θ分离，同时实现角的结构转变：“”．

证明