三角形的三边关系

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三角形任意两边之和大于第三边．

三角形任意两边之差小于第三边．

注意 1．虽然三角形按定义是由不同在一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，但并不是所有的不在同一条直线的三条线段都可以构成三角形，必须满足上述关系中的条件才能组成三角形．

2．三边关系用不等式表示．

若a，b，c表示三角形的三边，则有：

a+b>c，a+c>b，b+c>a；

a－b3．用三边关系可以判定给定的三条线段能否构成三角形，通常只验证两条短边和大于最长边即可．

4．三角形三边关系还可以表示为：

a－ba－cb－c

即三角形一边界于另两边差与另两边和之间，通常可以用它来求三角形中的边的取值范围．

5．通常还可以用三边关系来证明几何不等式．

例1 在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是( )．

A．4，4，8 B．4，6，11

C．6，8，10 D．3，4，7

答 C．

[解析] A中，因为4+4=8，所以构不成三角形．

B中，因为4+6<11，所以构不成三角形．

D中，因为3+4=7，所以构不成三角形．

解这类问题时，只需判断两条较短的线段之和是否大于最长线段即可(因为它们的差一定小于最长线段)．

例2 等腰三角形的一边的长为4，另一边长为9，求它的周长．

解 设腰长为4，底长为9，因4+4<9，所以此时构不成三角形；

设腰长为9，底长为4，此时能组成三角形，所以它的周长为9+9+4=22．

[解析] 在研究等腰三角形三边关系时，既要分类讨论，又要满足三角形三边关系定理，不满足定理时应舍去．

例3 一个三角形的两边长分别是2cm和9cm，第三边的长是一个奇数，则第三边长为＿＿．

答 9cm

[解析] 设第三边长为xcm，

∵三角形另两边的长为2和9，

∴9－2

即7

∵x为奇数，

∴x=9．

例4 三角形的三边长分别为a，a+1，a+2，求a的取值范围．

解 由于a是最小边长，它一定小于另两边之和，故只需a大于两边之差，即可得出a的取值范围为a>1．

例5 在一次暴风雨袭击过后，人们发现一棵9米高的大树被从离地面4米的地方折断，请问树顶与地面的接触点距树根可能是( )．

A．1米 B．9米

C．3米 D．13米

答 C．

[解析] 大树折断后，树顶著地，两部分树干与地面构成三角形，其中两边为4和5，那么第三边应在1和9之间．

故选C．