两圆的公切线

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1．两圆内切时，有一条公切线；

2．两圆外切时，有三条公切线；

3．两圆相交时，有两条公切线；

4．两圆相离时，有四条公切线；

5．两圆内含时，无公切线．

过圆外一点P(x₀，y₀)引圆(标准方程，一般方程)的切线长为

例1 当m为何值时，直线mx—y—m1=0与圆x²+y²—4x—2y+1=0相交，相切，相离．

解 由已知得圆心坐标为(2，1)，半径r=2，圆心(2，1)到直线mx—y—m—1=0的距离d为

点评 凡涉及到与圆有关的距离问题，都可以转化为圆心到直线的距离来研究，这就是几何法，本题还可以用方程的思想求解，即使用判别式法．

例2 求过直线l∶2x+y+4=0与圆C∶x²+y²+2x—4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程．

解 设过圆C和直线l的交点的圆的方程为x²+y²+2x—4y+1+λ(2x+y+4)=0(λ为参数)，即[x+(1+λ)]²+(y+因为所求圆的面积S=πr²最小，故只需使得r²最小．

例3 已知圆x²+y²=9上的点(x，y)，求x+y的取值范围．

解 设x=3cosθ，y=3sinθ(θ∈[0，2π))，则 ．

点评 参数法类似于换元法，在引入参数时一定要注意参数的取值范围．

例4 若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，求k的取值范围．

解 曲线表示的是半圆，而不是完整的圆．

如上图A(0，1)、B(0，—1)、F(1，0)，CE为y=x+k与x²+y²=1相切的位置，则．

显然，—1．

例5 已知两个圆C₁∶x²+y²=4，C₂∶x²+y²—2x—4y+4=0，直线l∶x+2y=0，求经过C₁和C₂的交点且和l相切的圆的方程．

解 设所求圆的方程为

x²+y²—2x—4y+4+λ(x²+y²—4)=0，

即(1+λ)x²+(1+λ)y²—2x—4y+4(1—λ)=0，

半径为