数学归纳法shuxue guina fa

只适用于与自然数n有关的数学命题的证明方法.它以自然数序数理论中的归纳公理作为理论基础.
第一数学归纳法 设P (n)是一个与自然数n有关的数学命题，如果❶命题P(1)为真；
❷假设P(n)为真，则P(n+1)也真，那末就能断言命题P(n)对于任何自然数n都为真.
第一数学归纳法可推广到以下更一般的情形.设P(n)是一个与自然数n有关的数学命题，如果❶对于某个自然数n0，命题P(n₀)为真；
❷假设P(k)(k≥n0)为真，则P(k+1)也真.那末命题P(n)对于任何大于或等于n₀的自然数都为真.
第二数学归纳法 设P(n)是一个与自然数n有关的命题，如果❶P(1)为真；
❷假设对于小于自然数n₀(n₀≠1)的自然数k来说P(k)为真，则P(k+1)也真，那末命题对于任何自然数n都为真.
第二数学归纳法可推广到以下更一般的情形.设P(n)是与自然数n有关的命题，如果❶对于某个自然数n₀,P(n₀)为真；
❷假设n₀1时P(k)为真，则P(n₁)也真.那末对于任何自然数n≥n₀，命题P(n)都为真.
用数学归纳法证明命题时，上述两个步骤是缺一不可的.

数学归纳法

证明一个与自然数n有关的命题P(n)所采用的方法。步骤为：1.验证n=n0时命题P(n)成立；2.假设n=k时命题P(n)成立，证明n=k+1时命题P(n)也成立。由1、2两步得出结论：命题P(n)对一切大于等于n0的自然数都成立。

数学归纳法

是对于与自然数n有关的命题的一种证明方法，它包括两个步骤：(1)验证当n=no时，命题p₁验证当n=no时，命题p(n)成立，这里no是某一自然数；(2)假设当n=k时，命题p(n)成立，在这假设下推出当n=k+l时，命题也成立。据此即可断言对于一切n≥no的自然数，命题p(n)成立。这里第一步叫归纳基础，如no=1，则这时证得的结论对一切自然数均成立。一般no应根据具体命题的性质而定。第二步中，所作假设“命题p(n)当n=k时成立”叫归纳假设，在数学归纳法中，归纳假设也可采取另一种形式：“命题p(n)当n≤k时成立”。数学归纳法是16世纪后期才引入的，1575年莫洛里克斯(F.Maurolycus,1494—1575)在《算术》一书中明确提出这一方法，并用来证明1+3+5+…+(n+1)=n²(n为自然数)等。

数学归纳法

mathematical induction

---

数学归纳法

mathematical induction