新古典派总体增长模型neo-classical aggregate growth model

新古典派通常是指“边际革命”之后，以微观的价格分析为中心的经济理论的总称。把本来研究微观的生产函数应用到整个社会，而引入宏观的生产函数，从而形成现代的经济增长理论，故称之为新古典派总体增长理论，其模型构成如下。
考虑一个国家的总生产量Y，它使用两种生产要素“劳动”L和“资本”K，具有规模报酬不变及关于各要素的边际产出递减的生产函数

Y_t＝F(L_t,K_t) (1)

其中t记时间。用Z_t记在t时刻的消费量，I_t记投资量，由总产出等于总需求而有

Y_t＝Z_t+I_t (2)

设在每一时刻资本的折旧是现存资本的一个比例μ（常数），则毛投资I_t＝K_t+μ_t，此处_t＝dK_t/dt是资本的变化率，代入(2)得

_t+μK_t＝Y_t-Z_t (3)

设劳动力按指数率增长，即L_t＝L₀e^nt，其中L₀和n为常数。再设消费量是纯收入的一个不变份额，即

Z_t＝(1-s)(Y_t-μK_t) (4)

其中s是0和1间的一个常数，称s为储蓄的平均倾向，(1-s)称为消费的平均倾向。如令x_t=Z_t/L_t（人均消费量）和k_t＝K_t/L_t（人均资本量），则方程(1)到(3)可化成

_t＝f(k_t)-λk_t-x_t (5)

其中f(k_t)=F(1,K_t/L_t),λ=n+μ，通常称(5)为新古典派总体增长模型的基本方程式。用L_t除(4)的两边得x_t＝(1-s)[f(k_t)-μk_t]，代入(5)中得

k_t＝sf(k_t)-σk_t (6)

其中σ=n+sμ。在对f(k)作适当的假设下，k_t单调趋于，此处是方程sf(k)-σk=0的解(参见图1、图2)。把代入x=(1-s)[f(k)-μk]得，因为和为常数，故＝L_t＝L₀e^nt＝L_t＝L₀e^nt，从而资本和消费都以同一增长率n按指数增长。 称()为均衡增长轨道，对任何初始值k₀≠，由于方程(6)的解都趋于，故任何轨道都趋于均衡增长轨道。
由(1)到(3)导出的方程(5)，如果不加上条件(4)，则方程f(k)-λk-x=0的任何一个解(k,x)都是均衡增长轨道，在经济学上称它们为金年(golden age)轨道(参见图3)。在这些轨道中有一条的纵坐标最大，令f′(k)=λ的解为k，从而求出最大的x=f()-λ()。 于是，(k,)对应的均衡增长轨道具有最大的人均消费量，称它为金律(golden rule)轨道。

图1

图2

图3