贝叶斯均衡Bayesian equilibrium

贝叶斯均衡是纳什均衡在不完全信息博弈中的扩展。贝叶斯是一位概率统计学家，曾创立了有关后验概率的著名法则-“贝叶斯法则”。通过 “海萨尼转换”，不完全信息博弈可以转换成 “完全但不完美信息博弈”。在这个基础上，海萨尼定义了 “贝叶斯纳什均衡”： 它是依从战略组合，给定自己的类型和别人类型的概率分布的情况下，每个参与人的期望效用达到了最大化，即无人有积极性选择其他战略。贝叶斯均衡还包括不完全信息动态博弈中的“精炼贝叶斯均衡”，这个概念是完全信息动态博弈的精炼纳什均衡与不完全信息静态博弈的贝叶斯纳什均衡的结合。通常说的 “贝叶斯均衡”一般就指 “贝叶斯-纳什均衡”。

贝叶斯均衡Bayesian equilibrium

贝叶斯均衡是不完全信息博弈（贝叶斯博弈）的均衡概念，静态的不完全信息博弈的均衡被称为贝叶斯纳什均衡，动态的不完全信息博弈的均衡被称为精炼的贝叶斯纳什均衡。解决不完全信息的方法是使用哈萨尼转换（参见哈萨尼转换）。
静态贝叶斯博弈记为G={a₁，…，a_n;θ₁，…，θ_n;p₁，…，p_n;u₁，…，u_n}。其中a_i是第i个博弈方采取的行动（纯策略）,a_i∈A_i(θ_i),A_i(θ_i)是第i个博弈方类型依存的行动空间；θ_i是第i个博弈方的类型，Θ_i是第i个博弈方的类型空间；p_i是第i个博弈方的类型为θ_i(θ_i∈Θ_i)的概率。u_i是第i个博弈方的效用，u_i＝u_i(a₁，…，a_i，…，a_n;θ₁，…，θ_i，…，θ_n)=u_i(a_i,a_-i;θ_i,θ_-i)。其中θ_-i=(θ₁，…，θ_i-1,θ_i+1，…，θ_n)。
定义一：如果对所有的i,a_i^*∈A_i(θ_i)，使得：

则a^*＝(a₁^*，…，a_n^*)就称为一个（纯策略）贝叶斯纳什均衡。混合策略的贝叶斯纳什均衡的定义类似。其中p_i(θ_-i|θ_i)是第i个博弈方在已知自己的类型为θ_i时判定其他博弈方类型属于θ_-i的概率。
在动态博弈中，记S_i(θ_i)为第i个博弈方类型依存的策略空间，s_i∈S_i(θ_i)是S_i中的一个特定的策略。记a_-i^h＝(a₁^h，…，a_i-1^h,a_i+1^h，…，a_n^h)是在第h个信息集（参见信息集）上参与人i观测到其他参与人的行动组合。记p(θ_-i|a_-i^h)是第i个博弈方在观测到a_-i^h后关于θ_-i的后验概率。
定义二：精炼贝叶斯均衡是一个策略组合s^*＝(s₁^*，…，s_n^*)和一个后验概率分布p=(p₁，…，p_n)，满足：
1.对于所有博弈方i，在每一个信息集h,s_i^*使得：

2.后验概率_i(θ_-i|a_-i^h)是使用贝叶斯法则，从先验概率p_i(θ_-i|θ_i)，观察到的a_-i^h和最优策略s_-i^*得到的（在可能的情况下）。
需要注意的是，精炼的贝叶斯均衡不仅仅是关于策略的均衡，而是关于策略s^*和对类型的判断（信念）的共同均衡。 给定信念p，策略s^*是最优的；给定均衡策略s^*是使用贝叶斯法则从均衡策略和观测到的行动得到的。