函数极限的运算法则

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如果a，，那么

【说明】 在进行函数极限的运算时，还经常用到下面的结论：

(1)(C是常数)；

一个重要结论：

例1 讨论下列函数当x→+∞，x→—∞和x→∞时的极限．

解 根据函数f(x)当x→+∞，x→—∞，x→∞时极限的定义，观察函数值变化的趋势，结合函数图象得出的结论．

(1)由下图可知，不存在，，不存在．

(2)由下图可知，，，不存在．

(3)由图可知，0，∴．

当a，b取何值时，存在，其值为多少?

解 x=0是此分段函数的分界点，而存在的充要条件与都存在并且相等∴ ．

∴当b=2，a取任意常数时，存在，其值为2．

例3 研究函数在x=0处的左、右极限．

解 由于x<0时，．

所以当x→0^—时，f(x)→—1，

故

而当x>0时，，

∴当x→0⁺时，f(x)→1，

因此，．

由于

所以不存在．

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例4 求证：．

解 对照的定义进行证明．

注意到当x>0时，有