材料切割问题数学模型

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材料切割问题指按较好切割方式确定进行切割的数量，并在满足制品要求的限制下使切割损失最小。

解决此类问题有以下二个计算步骤：

(1)考虑全部可能的材料切割方式，并对照制品的要求将X_1j(对第i种材料按第j种方式切割的长度)及切割损失列表。

(2)按表所示的各项确定系数建立材料切割问题的数学模型。

例如，有两种宽度(10′和20′)的卷纸，要按用户要求切割成宽5′、7′和9′，而长为10000′、30000′和20000′三种制品，怎样切割最佳?

❶ 对两种卷纸按用户要求共有九种切割方式，如下表所示：

❷ 建立材料切割数学模型如下：

使Z=3X₁₂+X₁₃+3X₂₂+X₂₃+X₂₄+4X₂₅+2X₂₆+5S₁+7S₂+9S₃最小

约束于

2X₁₁+4X₂₁+2X₂₂+2X₂₃+X₂₄－S₁=10000

X₁₂+X₂₂+2X₂₄+X₂₅－S₂=30000

X₁₃+X₂₃+X_2s+2X₂₆－S₃=20000

X_ij≥0，S₁，S₂，S₃＞0

式中：Z是切割纸张所剩余的纸张面积；X_ij是第i种卷纸按第j种方式切割的长度；S₁，S₂，S₃分别是按用户要求切割后的剩余长度。

推而广之，一般材料切割问题的线性规划数学模型如下：

使最小i=1，2，……j=1，2，……

约束于 K=1，2，……m

X_ij≥0

式中：X_ij为对第i种材料按第j种切割方式进行切割的数量；a_kj为对照K种切割定单要求所求出的确定数值；b_k为用户对切割的要求数量；C_ij为X_ij切割方式下的损失值。