自回归移动平均

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许多平稳的随机过程既不能用移动平均模型刻画，也不能用自回归模型刻画，因为它们都具有这两种模型的特性。

(p，q)阶混合自回归－移动平均模型刻画了这些过程，记这种模型为ARMA(p，q)，由下式表示

y_t=Φ₁y_t1+…+Φ_py_t－p+δ+ε_t－θ₁ε_t－1－…－θ_qε_tq (1)

假定过程平稳，所以它的均值为常数

这给出了过程平稳的一个必要条件，即：

Φ₁+Φ₂+…+Φ_p＜1 (3)

容易证明

γ_k=Φ₁γ_k－1+Φ₂γ_k－2+…+Φ_pγ_k－p

(k≥q+1) (4)

这样

ρ_k=Φ₁ρ_k－1+Φ₂ρ_k－2+…+Φ_pρ_k－p

(k≥q+1) (5)

注意到过程的移动平均部分有q期记忆力，所以当k≥q+1时，自相关函数(或协方差)反映了自回归部分的性质。

引进新的记号是有用的，通常用向后位移算子来表示时间的滞后是非常方便的。每当算子作用于一个变量时，就使该变量的时期滞后1期。

这样，Bε_t=ε_t－1，B²ε_t=ε_t－2，Bⁿε_t=ε_t－n。

利用这个算子，方程(1)的ARMA(p，q)过程可重写为：

(1－Φ₁B－Φ₂B²－…－Φ_pB^p)y_t=δ

+(1－θ₁B－θ₂B²－…－θ_qB^q)ε_t (6)或

Φ(B)y_t=δ+θ(B)ε_t

过程y_t平稳的充分必要条件为特征方程Φ(B)=0，θ(B)=0的根都落在单位圆之外。