解析函数

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12．1．1 解析函数的概念

定义：如果函数f(z)在域D内可微，则对域D内任一定点z₀，存在，则称函数f(z)在域D内解析。

性质：

❶ 解析函数f(x)=u(x、y)+iv(x、y)的导函数是

❷ 解析函数f(z)的导函数f′(z)仍为解析函数。

❸ 解析函数f(x)=u(x，y)+iv(x、y)所确定的下列两曲线族正交：u(x、y)=c₁，v(x、y)=c₂。其中c₁，c₂为任意常数。

12．1．2 解折函数的四个等价条件

如果函数f(z)在域D内满足下列条件之一，则f(z)就是域D内的一个解析函数．

❶ 函数f(z)在域D内确定，且处处可微。

❷ 函数f(z)=u(x、y)+iv(x、y)在域D内连续，并且u(x、y)，v(x、y)对x、y有连续偏导数。满足柯西—黎曼条件：

❸ 函数f(z)在域D内连续，并且对于域D内任一逐段光滑的闭曲线c都有

❹ 对域D内任一点都存在一个邻域，在此邻域内，f(z)能展开成幂级数。