一元线性回归yiyuan xianxing huigui

一元线性回归是工程上和科研中常常遇到的配直线问题，即两个变量X和Y有一定的线性关系，通过试验，利用得到的数据找出两者之间的经验公式。

为了寻求变量X和Y之间的关系，我们对 (X,Y)作n次独立观察，获得n对观察值(x_i ,y_i)(i=1,2，…，n)，再以它们为坐标，在坐标平面上描出n个观察点，如果这n个观察点分布在一条直线近旁（如图），则这条直线即可代表x与y之间的关系.下面利用最小二乘法来求此直线的方程。
设直线的方程为

＝a +bX

则观察点 (x_i,y_i)与直线上对应于相同横坐标的点(x_i, _i) 之间的偏差为

以

表示n个观察点关于直线的总偏差，使总偏差Q最小的直线叫回归直线。
求回归直线的方程＝a+bx，并归结为求a, b使Q达到最小值。
求Q关于a与b的偏导数，并令它等于零得

其中

所求的回归直线方程为

Y=a +bX。

注意，只有当两个变量之间确实存在线性统计关系时，求出的回归直线方程才有意义。

一元线性回归

因变量y与一个自变量x之间有线性关系， 其关系式为ŷ=b₀+b₁x, b₀为直线截距，b1为斜率，即回归系数。根据样本资料，用最小二乘法去估计b0和b1，有正规方程组：

解联立方程组，得：

从而确定一元线性回归方程。从样本资料得出的方程能否用作总体方程的估计，需要对截距和回归系数进行检验。通过检验后，就可以根据给定的x值去推算或预测y值。