九归

087 九归

筹算和珠算中除数为一位数的除法口诀。亦称“九归歌”。如六归(除数为6)口诀：“六二三余二”中，第一个数字六是除数，第二个数字二(实际指二十)是被除数，第三个数字三是商数，第四个数字二是余数。“逢六进一”中，六是被除数，一是商数。“六三改作五”中，六是除数，三(实际指三十)是被除数，五是商数。“六一下加四”中，六是除数，一(实际为十)是被除数，一是商数，四为余数，除数本档不动，余数拨在其下位。南宋杨辉著《乘除通变算宝》所载归除歌诀，原产生于筹算，与今略异。后经明柯尚迁、程大位等增删，用于珠算。

九归Jiugui

也叫单归。用从1到9的九个“个位数”做除数，去除从1到9各数。把除数、被除数、所得商数和余数合并成一句口诀，除数是几就称为“几归”，这样可以得到9组口诀，称为九归口诀(或九归歌、单归口诀)，用这种口诀进行运算的、除数是一位数的除法，就叫九归。以八归(除数是8)为例：逢八进一， 就是8除8商1; 八四改作五， 就是8除4时，把被除数2在本档改作商数5(相当于0.5)；八五六余二，就是8除5时，在被除数本档上改作商数6(即0. 6)，还余2(即0. 2)加在右一档上；八二下加四，就是8除2时，本档被除数2恰好与商数相同(0.2)。无须改变，只要把余数4(即0.4)加在右一档上即可。
九归歌诀如下：
一归：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九。
二归：二一改作五，逢二进一，逢四进二，逢六进三， 逢八进四。
三归：三一三余一，三二六余二，逢三进一，逢六进二， 逢九进三。
四归：四一二余二，四二改作五，四三七余二，逢四进一， 逢八进二。
五归：五一改作二，五二改作四， 五三改作六， 五四改作八， 逢五进一。
六归：六一下加四，六二三余二，六三改作五，六四六余四， 六五八余二， 逢六进一， 逢十二进二。
七归： 七一下加三，七二下加六， 七三四余二， 七四五余五，七五七余一，七六八余四，逢七进一，逢十四进二。
八归：八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四改作五，八五六余 二，八六七余四，八七八余六，逢八进一。
九归：九一下加一，九二下加二， 九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八， 逢九进一。
在一般流行的九归口诀中， “二一改作五”作 “二一添作五”， “三一三余一”作“三一三十一”， “五一改作二” 作 “五一倍作二”， 又如六归中的 “逢十二进二”作 “逢双六进二”。
珠算除法来源于筹算， 九归是在筹算除法由商除改为归除的过程中逐渐形成的，其前身是北宋时的“增成法”。其后又有 “九归古括”。在南宋数学家杨辉的《乘除通变本末》(1274) “九归详说”条中， 作为对4句 “九归古括” 的注解， 杨辉引述了32句 “九归新括”，根据同书中的 “习算纲目”可知， 当时九归共有44句口诀， 除了尚无一归之外，其内容与形式大致接近今天的九归口诀。在元代数学家朱世杰的 《算学启蒙》(1299) 中， 九归口诀已大致完备，其中一归省作“一归如一进，见一进成十”，九归省作 “九归随身下，逢九进成十”，五归则为 “五归添一倍，逢五进成十”，其他部分与今大致相同，在珠算取代筹算后，这些筹算九归口诀便直接成为珠算九归口诀。

九归jiu gui

rules for doing division with a one-digit divisor on the abacus