高次同余式gaoci tongyushi

最高未知数次数大于1的同余式.设

f(x)=a_nxⁿ+a_a-1x^n-1+……+a₀(n>0)

是一个整系数多项式，又设m是正整数，则

f(x)≡0(modm)　(1)

叫做模m的同余式，若a_n≢0 (modm)，则n叫做这个同余式的次数.当n=1时，它就是一元一次同余式(参见“一次同余式”)；若n≥2，则称为高次同余式.对于高次同余式的解，其定义与一次同余式类似.设x₀是使f(x₀)≡0(modm)成立的一个整数，则x≡x₀(modm)叫做同余式(1)的一个解.不同的解是指对模互不同余的解.
设m₁,m₂……，m_n是k个两两互质的正整数，令m=m₁m₂……m_k，则同余式(1)有解的充分必要条件是k个同余式f (x) ≡0 (modm_i),i=1,2，……，k的每一个都有解，并且若用Ti表示f(x)≡0 (modm_i)的解数，T表示同余式(1)的解数，则T=T₁T₂……T_k.
例如，解同余式6x³+27x²+17x+20=0 (mod30)
设f(x) =6x³+27x²+17x+20，为了解同余式f(x)≡0 (mod30)，我们先解下述两个同余式：

f(x)≡0(mod5),f(x)≡0(mod6).

把0,1,2,3,4代入第一个同余式，可知它有解x≡0,1,2 (mod5)，把0,1,2,3,4,5代入第二个同余式可知它有解x≡2,5 (mod6).由此可知原同余式有T=3×2=6个解.为了求出这6个解，我们需要解下面的同余式组：

x≡b₁(mod5),x≡b₂(mod6),

其中(b₁,b₂)=(0,1);(0,5);(1,2);(1,5);(2,2);(2,5).由孙子定理可得，原同余式的解为

x≡6b₁+25b₂≡2,5,11,17,20,26(mod30).