商代数shangdaishu

一个代数结构模它的同余关系产生的新的代数结构.
集A上的等价关系～将A划分成互不相交的等价类的并，记成＝A/～，即的元素[a]是a所在的等价类.称为A关于～的商集.进一步，设～是代数结构〈A,◦〉上的等价关系，并且对任意a,b∈A，若a～b，对任何c∈A，都有a◦C～b◦c，且c◦a～c◦b，则称等价关系～是〈A,◦〉上的同余关系.例如，模m同余，a≡b (modm)，当且仅当m| (a-b)，是〈Z,+〉上的一个同余关系，并且模m同余也是〈Z,+,·〉上的同余关系.又如，群〈G,·〉的正规子群N确定的陪集关系R,aRb当且仅当ab^-1∈N，是〈G,+〉上的同余关系.
设～是代数结构〈A,◦〉上的同余关系，则可在商集＝A/～上定义运算*.

[a₁] * [a₂]=[a₁·a₂]

称代数结构〈A/～，*)=〈,* 〉为〈A,◦〉(关于～)的商代数.
例如，剩余类环〈Z_m,+,·〉是〈Z,+,·〉的一个商代数，群〈G,·〉关于正规子群N的商群〈G/N·〉就是由N确定的陪集关系确定的商代数.
一个代数结构必定与它的商代数同态，把任一元素对应到这个元素所在的等价类的映射就是代数结构到其商代数的同态映射.反过来，代数结构A的任何一个同态映射可以导出A的一个同余关系～，并得到商代数A/～，A/～必与A的同态象同构.